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行测数量关系:集合间也可“挤兑”——容斥极值

2021-02-19 09:45:50| 来源:澳门正规最大游戏平台 郭冬梅

容斥问题在你眼中是否繁琐呢?采用容斥问题的公式或者借助文氏图分析,相信双通道可帮助同学们绕出容与斥的复杂;极值问题是否也带给你困扰?常见和定求最值,为保证完成目的的最不利分析,行走最短路程的探索等,协助了同学们一点点熟知极值的脾性。而容斥问题与极值问题共同孕育的容斥极值,让多集合在全集中使劲挤兑,数量关系与资料分析的考查中,它皆是常客。很多同学感觉它走出了繁琐与困扰,有些负负得正的韵味。如何分析应用呢?澳门正规最大游戏平台专家与同学们来一起探讨:

例题1:在阳光明媚的一天下午,甲乙两人给30盆花浇水,已知甲浇了20盆花,乙浇了17盆花。假设甲乙两人给每盆花浇水量相同,且每盆花浇水不宜过量,若重复浇水需放到室外光照,风量较好处养护,那么两人浇水后至少搬至室外多少盆花?

A.3 B.5 C.7 D.9

【中公解析】正确答案为C。共有30盆花,甲浇了20盆花,乙浇了17盆花,所以必会存在两人均浇过的花,即重复浇水需移至室外养活的花。根据两者容斥问题的公式:I=A+B-A∩B+M,即30=20+17-A∩B+M,得A∩B=7+M。若要A∩B最小,那么M的值也要尽可能小,M最小可取0,此时A∩B最小为7,故本题选C。(注:I表示全集,A,B分别表示全集中的两个集合,M表示既不属于集合A也不属于集合B的部分,即补集)

在花朵都如此有求生欲的今天,这一题在考场上又怎会不宝贵呢?但经过分析可知此题的计算难度并不高,所求为两集合公共部分的最小值,即在全集中既不属于A集合也不属于B集合的M取得0的前提下求得(A∩B)min=A+B-I。以此类推,若在容斥中求极值,则全集中多集合间公共部分的最小值分为:

(A∩B)min=A+B-I;

(A∩B∩C)min=A+B+C-2I

(A∩B∩C∩D)min=A+B+C+D-3I

……

例题2:2019年年末全国大陆总人口140005万人,比上年末增加467万人,其中,城镇常住人口84843万人,占总人口比重(常住人口城镇化率)为60.60%,比上年末提高1.02个百分点。户籍人口城镇化率为44.38%,比上年末提高1.01个百分点。全国人户分离的人口占大陆总人口的20%,其中,84.29%为流动人口。

问题:2019年年末,城镇常住人口中,男性人口占比至少为:

A.5.2% B.11.7% C.17.5% D.19.3%

【中公解析】正确答案为D。所求为城镇常住人口中的男性人口占比,由表格可知,2019年年末,城镇常住人口占全国总人口比重为60.6%,男性人口占全国总人口比重为51.1%,则既是城镇常住人口又是男性人口占总人口的比重至少为60.6%+51.1%-1=11.7%,则城镇常住人口中,男性人口至少占11.7%÷60.6%≈19.3%,选择D项。

容斥极值求解可还容易判定?即求解多个集合公共部分的极值,在数量关系与资料分析的考查中均可现影,看似复杂其实多加训练后,你会对它由陌生到熟悉,好感慢慢升级。所以夯实容斥问题的基底,练就推导本领,即使难题亦可迎刃而解,希望同学们在训练中都可有更大收获!




(责任编辑:zs)

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